ولگشت یا پرسه‌زنی تصادفی چیست؟ کاربردها و مثال‌های آن در علوم مختلف

ولگشت یا پرسه‌زنی تصادفی (Random Walk) یکی از مفاهیم بنیادی در ریاضیات و علوم مختلف است که درک ما از فرآیندهای تصادفی را دگرگون کرده است. این مفهوم، به ویژه در عصر مدرن، به عنوان یک ابزار تحلیلی برای مدل‌سازی رفتارهای پیچیده و نامنظم مورد استفاده قرار می‌گیرد. از فیزیک و زیست‌شناسی گرفته تا اقتصاد و علوم اجتماعی، ولگشت می‌تواند به ما در درک و پیش‌بینی الگوهای مختلف کمک کند.

مفاهیم مرتبط با ولگشت به ما اجازه می‌دهد که به جنبه‌های مختلف رفتار انسانی و طبیعی نگاه کنیم و الگوهایی را در زمینه‌های متفاوت کشف کنیم. به‌عنوان مثال، می‌توانیم تغییرات قیمت سهام را در بازار، حرکت مولکول‌ها در گاز، یا حتی جستجوی غذایی یک پرنده را با استفاده از مدل‌های ولگشت تحلیل کنیم. در واقع، این مدل به‌دلیل سادگی و قدرت توضیح‌دهندگی‌اش، توانسته است جایگاه ویژه‌ای در تحقیقات علمی پیدا کند و در کنار دیگر مدل‌های ریاضی، به درک عمیق‌تری از پدیده‌های پیچیده کمک کند.

معنای ولگشت یا پرسه زنی تصادفی چیست؟

ولگشت یک مدل تصادفی است که در آن حرکت یک ذره یا نقطه به‌صورت تصادفی در فضا رخ می‌دهد. در این فرآیند، هر گام به‌طور مستقل از گام‌های قبلی انتخاب می‌شود و معمولاً از یک توزیع احتمال خاص پیروی می‌کند. برای مثال، در یک ولگشت یک‌بعدی، در هر مرحله، نقطه می‌تواند به جلو یا عقب حرکت کند و احتمال هر کدام برابر است. این ویژگی تصادفی و عدم پیش‌بینی‌پذیری یکی از ویژگی‌های بارز ولگشت است.

ولگشت به‌طور خاص در علوم ریاضی و آمار مورد توجه قرار گرفته است و به‌عنوان یک مدل استاندارد برای بررسی پدیده‌های تصادفی به کار می‌رود. به‌علاوه، ولگشت می‌تواند به‌صورت چندبعدی نیز مدل‌سازی شود، که به ما این امکان را می‌دهد که حرکت نقاط در فضایی با ابعاد بالاتر را نیز تحلیل کنیم. به‌عنوان مثال، در یک ولگشت دو بعدی، نقطه می‌تواند به سمت بالا، پایین، چپ یا راست حرکت کند و این باعث می‌شود تا مسیرهای مختلفی برای نقطه وجود داشته باشد.

تاریخچه رسیدن به نظریه ولگشت

تاریخچه ولگشت به اوایل قرن بیستم برمی‌گردد و در این زمان به‌طور اولیه توسط آلفرد وِگنر (Alfred Wegener) در سال 1905 مطرح شد. او در بررسی‌های خود نشان داد که حرکت تصادفی ذرات در فضا می‌تواند به‌صورت الگوهای خاصی توصیف شود. با این حال، توسعه و گسترش این مفهوم در دهه‌های بعدی به‌ویژه در سال‌های 1920 آغاز شد.

در سال 1921، بولز و دنهام (Borel and Denham) شروع به تحلیل دقیق‌تری از ولگشت کردند و آن را به عنوان یک ابزار تحلیل تصادفی معرفی کردند. این پژوهش‌ها نشان داد که ولگشت می‌تواند به عنوان یک مدل کلی برای بسیاری از فرآیندهای تصادفی در دنیای طبیعی و اجتماعی به کار رود. به‌تدریج، محققان و ریاضیدانان دیگری نظیر جونز و لِوین نیز به این حوزه علاقه‌مند شدند و پژوهش‌های خود را در این زمینه انجام دادند.

در دهه‌های بعد، ولگشت به‌طور فزاینده‌ای در زمینه‌های مختلف علمی مورد استفاده قرار گرفت. به‌عنوان مثال، در اقتصاد، ولگشت به‌عنوان یک مدل برای تحلیل نوسانات قیمت سهام و رفتار بازار به کار رفت. همچنین در فیزیک، ولگشت برای مدل‌سازی حرکت ذرات و بررسی خواص گازها و مایعات استفاده شد. در زیست‌شناسی، این مفهوم به مطالعه حرکت و پراکندگی جمعیت‌ها در محیط‌های طبیعی کمک کرد.

با پیشرفت تکنولوژی و ابزارهای محاسباتی، امکان شبیه‌سازی و تحلیل‌های پیچیده‌تر ولگشت فراهم شد. امروزه ولگشت به‌عنوان یک ابزار اساسی در تحلیل‌های آماری و مدل‌سازی فرآیندهای پیچیده شناخته می‌شود و تحقیقات جدید در این زمینه به صورت مداوم در حال گسترش است. در نتیجه، ولگشت نه تنها به ما کمک می‌کند تا سیستم‌های پیچیده را درک کنیم، بلکه ابزارهای لازم برای پیش‌بینی و مدیریت این رفتارها را نیز فراهم می‌آورد.

قدم‌زنی تصادفی: سفر به دنیای عدم قطعیت

تصور کنید هزار نفر در یک میدان بزرگ ایستاده‌اند. برای هر کدام از آن‌ها یک تاس می‌زنیم. اگر عدد ۴ یا ۵ بیفتد، هر فرد یک قدم به سمت شمال برمی‌گردد و اگر عدد دیگری بیفتد، یک قدم به سمت جنوب حرکت می‌کند. تاس کاملاً سالم است و احتمال هر یک از اعداد برابر است.

وقتی که برای هر فرد یک بار تاس بیندازیم، انتظار داریم در پایان آزمایش نیمی از افراد به سمت شمال و نیمی به سمت جنوب حرکت کنند. حالا همین کار را دوباره تکرار می‌کنیم. فردی که در سمت شمال (در نقطه 1) ایستاده، به احتمال 50 درصد یک قدم دیگر به سمت شمال می‌رود و در نقطه شماره 2 قرار می‌گیرد، یا یک قدم به سمت جنوب برمی‌گردد.

بعد از آن که برای هر فرد دو بار تاس انداختیم، پیش‌بینی می‌شود نیمی از افراد به سمت شمال و نیمی به سمت جنوب به نقطه مبدا بازگردند. این به معنای آن است که 500 فرد در نقطه صفر قرار خواهند داشت. همچنین نیمی از 500 فرد (250 نفر) در نقطه 2+ و 250 نفر در نقطه 2- قرار می‌گیرند. به وضوح هیچ فردی در نقطه 1+ یا 1- نخواهد بود. زیرا ترکیبات ممکن از حرکات به طور طبیعی نمی‌توانند به آن نقاط برسند. توجه داشته باشید که جهت حرکت در مرحله دوم هیچ ارتباطی به جهت حرکت در مرحله اول ندارد.

می‌توانیم این بازی را تا بی‌نهایت ادامه دهیم. به عنوان مثال، اگر برای هر فرد چهار بار تاس بیندازیم، به احتمال زیاد 375 نفر در نقطه مبدا، 250 نفر در نقاط 2± و 65 نفر در نقاط 4± قرار خواهند گرفت. قطعاً هیچ فردی در نقاط 1±، 3± و 5± نیست. همچنین هیچ فردی نمی‌تواند در نقاط 6 و بالاتر باشد، چرا که با چهار حرکت هرگز به آن نقاط نخواهد رسید.

حالا فرض کنید که فردی از جمع 6 قدم برداشته است. اگر 4 قدم او به سمت شمال و 2 قدم او به سمت جنوب باشد، او در نقطه 2 ایستاده است. سوال اینجا است که به‌طور میانگین افراد در کجا خواهند ایستاد؟ مقدار میانگین محل قرارگیری افراد برابر است با جمع میانگین هر حرکت آن‌ها. زیرا میانگین (4 و -2) برابر با 1 است، بنابراین میانگین حرکت افراد بعد از n قدم برابر می‌شود با n ضرب در یک، یعنی n.

اگر این بازی را ادامه دهیم، به یک توزیع زنگوله‌ای متقارن می‌رسیم. در این قدم‌زنی تصادفی همیشه بیشترین تعداد افراد در نقطه صفر یا در نقاط 1± ایستاده‌اند. نکته جالب این است که هر فرد ممکن است بارها و بارها به مبدا بازگردد. درست مانند یک پروانه که در یک باغ بزرگ پرواز می‌کند و بارها و بارها از یک نقطه عبور می‌کند.

قدم‌زنی نه‌چندان تصادفی

با بررسی پرسه‌زنی تصادفی در یک فضای یک‌بعدی، متوجه می‌شویم که بیشتر افراد در اطراف نقطه صفر گشت‌وگذار می‌کنند. تصور کنید که فردی صندلی‌اش را در نقطه صفر گذاشته و در حالی که کتاب می‌خواند، گاهی به اطراف نگاه می‌کند. اما اگر یک دکه بستنی‌فروشی در سمت شمال باشد، طبعاً افراد بیشتر به سمت شمال حرکت خواهند کرد.

در یک پرسه‌زنی با تمایل، فرض کنید که هر فرد به احتمال p به سمت شمال و به احتمال 1-p به سمت جنوب حرکت کند. اگر p=75% باشد، به احتمال 75 درصد فرد به سمت شمال و به احتمال 25 درصد به سمت جنوب می‌رود.

طبیعتاً با این شرایط، بیشتر افراد به تدریج به سمت شمال حرکت می‌کنند. احتمال جابجایی فرد برابر می‌شود با نیم قدم به سمت شمال در هر مرحله.

اگر این بازی تا n قدم ادامه پیدا کند، بیشتر افراد در اطراف نقطه (n×(2p-1) قرار خواهند گرفت. به عنوان مثال، اگر p=50% باشد، بیشتر افراد در اطراف نقطه صفر جمع می‌شوند، اما برای p=75% محل تجمع افراد کم‌کم به سمت شمال منتقل می‌شود. با این احتمال، بعد از پرتاب 100 تاس برای هر فرد، بیشتر افراد در اطراف نقطه 75 قرار خواهند گرفت.

قدم‌زدن تصادفی در یک دنیای دوبعدی

تا اینجا، بیشتر بر روی پرسه‌زنی در یک خط مستقیم (فضای یک‌بعدی) تمرکز داشتیم. ویژگی کلیدی این ولگردی، بازگشت مکرر به نقطه آغاز و نوسان در اطراف یک نقطه مشخص بود. حال اگر به فضای دوبعدی برویم، جذابیت این موضوع بیشتر می‌شود.

در یک قدم‌زدن تصادفی دوبعدی، یک ذره می‌تواند به سمت راست یا چپ و همچنین به بالا یا پایین حرکت کند. این بار هم، مشابه حالت یک‌بعدی، بیشتر حرکات حول نقطه مبدا خواهد بود. در این حالت، احتمال حرکت به هر سمت 50 درصد است، بنابراین گردشگر تصادفی می‌تواند بارها به نقطه آغازین خود بازگردد.
به عنوان یک مثال از دنیای واقعی، می‌توانیم به حرکت یک دانه شن در کنار دریا اشاره کنیم. دانه شن که در اثر باد و امواج دریا جابجا می‌شود، به طور تصادفی به جلو و عقب می‌رود و بیشتر در نواحی نزدیک به ساحل جمع می‌شود. در اینجا، دانه‌های شن می‌توانند به سمت راست یا چپ و همچنین به بالا یا پایین حرکت کنند و در نهایت به مرکز ساحل نزدیک‌تر شوند.

به‌علاوه، اگر بخواهیم به رفتار یک بچه در حیاط خانه اشاره کنیم، می‌توانیم تصور کنیم که بچه‌ای در حال بازی با توپ است. او ممکن است توپ را به سمت دیوار پرتاب کند و سپس به سمتی دیگر برود. در این حالت، حرکت بچه به سمت دیوار و سپس بازگشت به مرکز حیاط شبیه یک قدم‌زدن تصادفی در دو بعد است.

مثال‌های روزمره از قدم‌زدن تصادفی

حرکت مگس‌ها در یک اتاق نیز می‌تواند نمونه‌ای از قدم‌زدن تصادفی باشد. مگس‌ها به طور تصادفی در اطراف اتاق پرواز می‌کنند و به جایی خاص نمی‌رسند، اما بیشتر در اطراف یک منبع نور مانند لامپ جمع می‌شوند. این رفتار مشابه حرکت دانه‌های شن در کنار دریا است.

به‌علاوه، تصور کنید که یک گربه در باغی به دنبال پروانه‌ها می‌دود. این گربه به سمت راست و چپ حرکت می‌کند و به طور تصادفی به سمت پروانه‌ها می‌رود، اما بیشتر اوقات در اطراف یک نقطه خاص یعنی جایی که پروانه‌ها بیشتر حضور دارند، جمع می‌شود.

حالا بیایید به فضای سه‌بعدی برویم. در این حالت، احتمال اینکه یک گردشگر تصادفی هرگز به نقطه مبدا بازنگردد، وجود دارد. مثلاً تصور کنید یک ماهی در یک آکواریوم شنا می‌کند. این ماهی ممکن است از نقطه‌ای شروع کند و در طول زمان به نقاط مختلف آکواریوم برود، اما هرگز به نقطه آغازین خود برنمی‌گردد.

در دنیای واقعی، نمونه‌هایی از قدم‌زدن تصادفی سه‌بعدی شامل حرکت ذرات در ابرها، پخش گازها در جو و حرکت جریان‌های اقیانوسی هستند. در هر یک از این مثال‌ها، ذرات با حرکات تصادفی در فضا پراکنده می‌شوند و احتمال اینکه دوباره به یک نقطه خاص بازگردند بسیار کم است.

احتمال متغیر در قدم‌زدن تصادفی

اکنون بیایید بررسی کنیم چه اتفاقی می‌افتد اگر احتمال حرکت نیز از یک الگوی تصادفی پیروی کند. فرض کنید یک فرد در حال گشت‌زنی در یک شهر است و در هر گام به سمت راست با احتمال p و به سمت چپ با احتمال (1-p) حرکت می‌کند. اما p عددی ثابت نیست و بسته به زمان روز، مثلاً در ساعات شلوغ‌تر، احتمال بیشتری برای حرکت به سمت راست وجود دارد.

در این حالت، رفتار این فرد به‌طور کامل از رفتارهای قبلی متمایز خواهد شد. مثلاً فردی که الان پنج قدم به سمت راست رفته، ممکن است در مرحله بعدی 50 قدم به چپ بیاید و سپس به سمت بالا برود.

رفتارهای پیچیده در بازارهای مالی

حرکت در بازارهای مالی نیز می‌تواند به عنوان یک نمونه از این نوع قدم‌زدن تصادفی در نظر گرفته شود. وقتی شما پشت کامپیوتر نشسته‌اید و تصمیم می‌گیرید که چه سهمی بخرید یا بفروشید، تمام این تصمیمات می‌توانند الگوریتمی تصادفی داشته باشند. به عنوان مثال، تصمیم به خرید یا فروش یک سهم، میزان حجم خرید، زمان معامله و حتی نحوه واکنش به تغییرات بازار همگی تحت تأثیر رفتارهای تصادفی دیگر کنشگران بازار قرار می‌گیرد.

به عنوان مثال، اگر تعداد زیادی از افراد شروع به خرید یک سهم کنند، ممکن است شما نیز تحت تأثیر این رفتار، اقدام به خرید کنید. در اینجا، تأثیر رفتار 20 نفر که به سمت خرید یک سهم حرکت می‌کنند، می‌تواند شما را ترغیب به خرید کند، به‌ویژه اگر قیمت سهم به‌طور ناگهانی افزایش یابد.

گذشته به‌نظر بدیهی است و آینده مبهم

وقتی به گذشته نگاه می‌کنیم، همه‌چیز به‌نظر بدیهی می‌رسد. مثلاً در سال 1384 و با ریاست‌جمهوری محمود احمدی‌نژاد، افزایش قیمت ارز و سکه قابل پیش‌بینی به نظر می‌رسید. اما آیا آینده نیز به همین شکل واضح خواهد بود؟ زمانی که به وضعیت بورس در سال 1400 فکر می‌کنیم، برخی از افراد نظرات منفی می‌دهند زیرا منفی‌بافی همیشه امن‌تر است.

چرا گذشته به‌نظر بدیهی است و آینده مبهم؟ شاید به این دلیل که مغز ما تلاش می‌کند برای رویدادهای تصادفی توجیهات منطقی بسازد. به همین دلیل است که ممکن است فکر کنیم که رشد سال 92 نتیجه‌ای از یک الگوی تصادفی است که بر وقایع دیگر تأثیر گذاشته است. در این فرآیند، ذهن ما داستان‌هایی برای این رویدادها می‌سازد و خود را به خاطر عدم سرمایه‌گذاری در بورس در آن زمان سرزنش می‌کند.