کتاب سواد عددی

در اقتصاد چگونه اعداد را مدیریت کنیم و از آن بهره ببریم؟

همه کسانی که با عدد کار می‌کنند، ریاضی‌دان نیستند.

بسیاری از ما حتی با مفاهیم ریاضی که در دبیرستان خوانده‌ایم مشکل داریم.

کتاب سواد عددی به همین منظور نوشته شده است. این کتاب مجموعه گسترده‌ای از ابزارهای ریاضی را ارائه می‌دهد که برای حل مسائل پیچیده اقتصادی مفید هستند.

این کتاب به ما نشان می‌دهد که چگونه می‌توانید پیش‌بینی کنید، چگونه از داده‌ها برای تصمیم ‌گیری بهتر استفاده کنید و چگونه از نتیجه گیری نادرست بپرهیزید.

مفاهیم پایه ریاضی در زندگی روزمره کاربرد زیادی دارند. البته این مفاهیم در اقتصاد هم حیاتی هستند، البته به شرط آن که از ریاضیات به درستی استفاده کنید.

برای مثال به درصدها فکر کنید. درصد را می‌توانیم تقریبا برای هر مشکلی که شامل رشد یا کاهش باشد، به کار ببریم.

اما باید مراقب خطاهای رایج باشیم!

فرض کنید شما یک سرمایه‌ گذاری 1000 دلاری انجام داده‌اید که اکنون ارزش آن 1700 دلار است. سرمایه شما چقدر افزایش یافته است؟

اگر ابتدا مقدار اولیه را از مقدار فعلی کم کنید، سپس این تفاوت را بر مقدار اولیه تقسیم و در 100 ضرب کنید به میزان رشد می‌رسید:
700= 1000-1700
70%= 100×(1000÷700)
ساده به نظر می رسد، اما مراقب خطاهای معمول باشید.

اول از همه به یاد داشته باشید: n درصد افزایش و به دنبال آن، همان n درصد کاهش، شما را به نقطه اولیه باز نمی‌گرداند. اگر 1000 دلار به اندازه 50 درصد رشد کند، به 1500 دلار می‌رسیم. سپس یک ضرر 50 درصدی روی 1500 دلار، سرمایه ما را به 750 دلار می‌رساند، نه همان هزار دلار اولیه.

علاوه بر این، درصد تغییرات اغلب با درصد رشد اشتباه گرفته می‌شود. برای مثال، اگر نرخ تورم از 10 درصد به 20 درصد افزایش یابد، تورم ده درصد افزایش یافته است. اما درصد تغییرات نرخ تورم 10 درصد نیست، بلکه 100 درصد است، زیرا نرخ تورم دو برابر شده است.

گرد کردن یکی دیگر از ابزارهای کاربردی ریاضی است، اما این ابزار اغلب به اشتباه به کار گرفته می‌شود. گرد کردن برای ساده کردن اعداد و ارقام بسیار مفید است. اگر رقم آخر اعشار، چهار یا کمتر باشد، عدد به پایین گرد می‌شود، در حالی که اگر این عدد پنج یا بیشتر باشد، عدد به سمت بالا گرد می‌شود.

اعداد 1.5 و 2.4 را در نظر بگیرید:
هر دو عدد به 2 گرد می‌شوند.
1.5 ضربدر 1.5 می‌شود 2.25 که این عدد هم به 2 گرد می‌شود.
2.4 ضربدر 2.4 می‌شود 5.76 که به 6 گرد می‌شود.

بنابراین، پاسخ “دو ضربدر دو” می‌تواند عددی بین 2 تا 6 باشد!

پس به یاد داشته باشید که گرد کردن همیشه باید در آخرین مرحله محاسبه صورت بگیرد.

هر سرمایه‌گذار می‌خواهد ارزش پول خود را در آینده حساب کند. برای این منظور باید دو عامل را منظور کنید: نرخ بهره و نرخ تورم

بهره در واقع هزینه‌ای است که برای استفاده از پول پرداخت می‌شود، بنابراین نرخ بهره هنگام مقایسه فرصت‌های سرمایه‌گذاری بسیار مهم است.

فرض کنید با نرخ بهره شش درصد در سال، 100 دلار را به مدت پنج سال سرمایه‌گذاری کرده‌اید. سود حاصل از سرمایه‌گذاری شما به این صورت محاسبه می‌شود:
30 دلار = 5 × 0.06 × 100 دلار

همین‌جاست که همه‌چیز پیچیده می‌شود. نرخ بهره‌ای که در مورد آن صحبت کردیم، بهره ساده است. یعنی شما فقط برای سرمایه‌گذاری اولیه خود سود می‌گیرید.

اما نوع دیگری از سود هم وجود دارد که به آن بهره مرکب می‌گویند. با بهره مرکب، نه تنها برای مبلغ اولیه سود دریافت می‌کنید، بلکه به سودی که گرفته‌اید هم سود تعلق می‌گیرد.

درک این موضوع ممکن است سخت باشد. اجازه دهید به مثال خود بازگردیم.

فرض کنید همان مقدار قبلی را سرمایه‌گذاری کرده‌اید؛ 100 دلار برای پنج سال با نرخ سود شش درصد. این سود در پایان هر سال پرداخت می‌شود. بنابراین، در پایان سال اول، 106 دلار خواهید داشت. سال آینده، شما نه برای ۱۰۰ دلار، بلکه برای ۱۰۶ دلار باید سود بگیرید. بنابراین، پول شما پس از دو سال 112 دلار نخواهد بود. بلکه به 112.36 دلار خواهد رسید. سال بعد، برای 112.36 دلار سود دریافت خواهید کرد. بنابراین، پول شما با سرعتی تصاعدی رشد خواهد کرد.

اما هنگام سرمایه‌گذاری باید تورم را هم در نظر بگیرید. تورم را می‌توانیم برعکس بهره ببینیم: بهره ارزش دارایی شما را اضافه می‌کند، در حالی که تورم، آن را کاهش می‌دهد.
به عبارت دیگر، تورم قدرت خرید شما را کاهش می‌دهد. به عنوان مثال، اگر نرخ تورم 10 درصد باشد، ارزش 10000 دلار امروز پس از پنج سال معادل ارزش 16105 دلار خواهد بود.
بله، تورم نیز به صورت مرکب حساب می‌شود چون از ارزش سودهای دریافتی شما هم کاسته خواهد شد.

هنگام سرمایه‌گذاری، باید تفاوت بین سودی که کسب می‌کنید و تورم را هم محاسبه کنید. اگر بگوییم که نرخ تورم 10 درصد و نرخ بهره 6 درصد است، تفاوت را با این معادله محاسبه می‌کنید:
3.8 – = 1 – (1.10 ÷ 1.06)

به عبارت بهتری سود شما منفی 3.8 درصد در سال خواهد بود.

با درک این موضوع، شما می‌توانید از این اطلاعات برای محاسبه مقدار پولی که باید سرمایه‌گذاری کنید تا بتوانید ارزش دارایی خود را حفظ کنید، بهره ببرید.

در اینجا می‌خواهیم سه ابزاری را بررسی کنیم که راهی بسیار موثر برای توصیف هر مجموعه از اعداد ارائه می‌دهند: میانگین، انحراف معیار، توزیع نرمال

برای یادگیری عملی آن‌ها، بیایید با مثال میزان فروش روزانه یک شرکت املاک شروع کنیم.
ابتدا، شما به روشی برای اندازه‌گیری میانگین نیاز دارید. رایج‌ترین روش برای اندازه گیری میانگین، جمع کردن همه اعداد و تقسیم آن بر تعداد است.

بنابراین، اگر یک شرکت طی سه روز به ترتیب یک، دو و سه خانه بفروشد، میانگین به صورت (1 + 2 + 3) تقسیم ‌بر 3 محاسبه می‌شود که برابر است با 2 فروش در روز به طور میانگین.

در مرحله بعد، ما به اندازه گیری پراکندگی پیرامون مقدا میانگین نیاز داریم. مفهوم میانگین زمانی معنادار می‌شود که از میزان گسترده بودن اعداد در اطراف آن اطلاع داشته باشیم. به این عدد انحراف از معیار می‌گویند.

انحراف از معیار خیلی مفید است. ابتدا باید مقدار میانگین را محاسبه کنید. سپس عدد را از میانگین را کم کرده و حاصل را به توان دو برسانید (یا در خودش ضرب کنید). در نهایت، میانگین این اعداد جدید را پیدا کنید و جذر حاصل را به دست بیاورید.

در مثال شرکت املاک، انحراف از معیار برابر با عدد یک است. اما، اگر انحراف از معیار برابر عدد پنج یا شش بود، نشان می‌داد که روز‌هایی بدون فروش و برخی روزها با فروش زیاد همراه شده است.

در نهایت، ما به اندازه گیری شکل اعداد هم نیاز داریم.

مجموعه اعداد ممکن است شکل متفاوت داشته باشند. ممکن است اعداد به طور متقارن حول مقدار میانگین پخش شده باشند مثل (1، 2، 3)، یا به یک طرف تمایل پیدا کرده باشند مثل (1، 2، 3000).

رایج‌ترین شکل برای مجموعه اعداد تصادفی، توزیع نرمال است که در آن اعداد به طور متقارن حول مقدار میانگین توزیع می‌شوند.

با این سه ابزار، می‌توان انواع مختلفی از پیش‌بینی‌های فروش را انجام داد و اگر بخواهید این پیش‌بینی‌ها را در یک جلسه کاری ارائه کنید، با این ابزراها کار شما راحت‌تر می‌شود، این همان چیزی است که در بخش بعدی بررسی خواهد کرد.

جدول و نمودار در گزارش‌ها و ارائه‌ها، کمک بزرگی به شما می‌کنند، به داده‌های شما نظم می‌دهند و درک اطلاعات را ساده‌تر می‌کنند.

جدول دو کاربرد مهم دارد: ارائه داده و تفسیر آن

نکته مهم این است که جدولی که داده‌ را ارائه می‌دهد برای استفاده دیگران طراحی شده‌ است، باید از سه قانون پیروی کند:

1. جدول را مختصر کرده و اطلاعات غیرضروری را حذف و اعداد اعشاری را گرد کنید.
2. جدول را با نوشتن اعدادی مثل جمع کل یا مقدار میانگین، غنی‌تر کنید.
3. اعداد جدول را بر اساس اهمیت یا اندازه به شکل ستونی مرتب کنید. توجه داشته باشید که خواندن اعداد در یک ستون آسان‌تر از خواندن همان اعداد در یک ردیف است.

جدول‌هایی که برای تفسیر داده طراحی شده‌اند، به اطلاعاتی مانند تغییرات درصدی، تغییرات مطلق، جمع کل، میانگین و غیره نیاز دارند. این اطلاعات به شما امکان می‌دهد کشف کنید که داده‌های شما چطور با یکدیگر مرتبط می‌شوند.

برخلاف جدول‌، نمودارها به ما این امکان را می‌دهند که داده‌های خود را به شکلی خلاصه کنیم که مخاطب بتواند به راحتی آن را درک کند.

روندها، نسبت‌ها و سایر متغیرها از طریق نمودارهای خطی، نمودارهای میله‌ای و نمودارهای دایره‌ای، در یک نگاه آشکار می‌شوند.

اما دسترسی سریع به اطلاعات از این طریق اغلب از دقت شما می‌کاهد. در واقعیت حتی گاهی از نمودارها برای نشان دادن ادعاهای گمراه کننده استفاده می‌شود.

به عنوان مثال، یک خط مستقیم بین دو نقطه در یک نمودار، می‌تواند مسیر پر فراز و نشیب بین آن‌ها را پنهان کند. فرض کنید منحنی قیمت یک سهم، فقط با در نظر گرفتن قیمت آن در اولین روز هر ماه ترسیم شود و سپس این نقاط را با استفاده از خطوط مستقیم به هم وصل کنیم. چنین نموداری ممکن است رفتار باثابتی را نشان دهد، در حالی که این نمودار نوسانات شدید قیمت در طول ماه را پنهان می‌کند.

یک هدف مهم اقتصاد، داشتن درک کلی از آینده است، به ویژه در مورد روندهای بازار. به همین دلیل است که پیش‌بینی، بخش اساسی از اقتصاد است.

اما پیش‌بینی چطور انجام می‌شود؟ بیایید به سه رویکرد اصلی نگاه کنیم:

• اولین رویکرد، پیش‌بینی ذهنی است که از شهود، تجربه و حدس و گمان استفاده می‌کند. در نگاه اول، پیش‌بینی ذهنی ممکن است ذاتا غیرقابل اعتماد به نظر برسد. اما به یاد داشته باشید، پیش‌بینی‌های مبتنی بر تکنیک‌های عددی هم لزوما درست نیستند.
  از آنجایی که تکنیک‌های عددی همیشه جواب نمی‌دهند، همیشه لازم است پیش‌بینی‌ها را با مقدار مناسبی از قضاوت ذهنی تعدیل کنیم.
• رویکرد دوم برون‌یابی روندهای گذشته است. این روش به تداوم روندهای گذشته در آینده اشاره دارد. در نتیجه برای این رویکرد از روش‌هایی مثل توالی داده‌ها یا سری‌های زمانی، مانند مبلغ کل فروش بستنی در هر روز، یا تعداد خودروهای تولید شده در هر ماه استفاده می‌شود.
  روش کلی به این شکل است که روند یک سری را آشکار کنیم و آن‌ها را به آینده تعمیم دهیم.
• رویکرد سوم مدل‌سازی عِلّی است. در این رویکرد، پیش‌بینی‌ها بر اساس روابط علت و معلولی ایجاد می‌شوند.
  به عنوان مثال، یک شرکت ممکن است پیش‌بینی فروش خود را بر اساس تبلیغات یا قیمت‌ها انجام دهد، در حالی که شرکتی دیگر ممکن است برای پیش‌بینی فروش آینده به میانگین درآمد و تغییرات نرخ بهره نگاه کند.

یک ابزار ریاضی مفید برای این نوع پیش‌بینی‌ها، رگرسیون است. این روش به شما امکان می‌دهد تخمین بزنید که چگونه مجموعه‌ای از داده‌ها با یکدیگر مرتبط هستند، مانند اینکه چگونه فروش تحت تاثیر مالیات قرار می‌گیرد.

برای تعیین عدد، ابتدا باید نقاط داده خود را بر روی یک نمودار رسم کنید، برای مثال ارقام فروش را در محور X و نرخ مالیات را در محور Y قرار دهید. تحلیل رگرسیون شما را قادر می‌سازد تا خطی را پیدا کنید که به بهترین وجه با نقاط نمودار شما مطابقت داشته باشد. بنابراین، این خط، رابطه بین دو مجموعه داده (یعنی مالیات و نرخ فروش) را به نمایش می‌گذارد.

البته هیچ‌یک از این سه روش نمی‌تواند آینده را با قطعیت پیش‌بینی کند. اما یک رویکرد خوب برای پیش‌بینی، ترکیبی از این تکنیک‌ها است.

اگر از داخل یک گونی یک مشت گندم برداریم، می‌توانیم مشت خود را نمونه‌ای از تمام گندم‌های داخل گونی در نظر بگیریم.

از نمونه‌‌برداری برای ارائه اطلاعات آماری در بسیاری از رشته‌ها، به ویژه در اقتصاد و تجارت استفاده می‌شود. اگر رویکرد درستی داشته باشید، نمونه‌ها می‌توانند بسیار مفید باشند.
به این موضوع فکر کنید: اگر در دراز مدت و به طور مداوم نمونه‌های ثابتی را بگیریم، می‌توانیم با اطمینان، نمونه خود را نماینده معتبری از کل جامعه فرض کنیم.

فرض کنید مدیر یک شرکت هستید و می‌خواهید از 10000 سفارش اخیر، میانگین سفارش مشتریان خود را حساب کنید. با بررسی تمام 10000 فاکتور می‌توانید 100 درصد مطمئن باشید که به عددی دقیق رسیده‌اید. اما با نمونه‌برداری از 50 فاکتور هم می‌توانید تا 99 درصد مطمئن باشید که رقم شما صحیح است. اما چگونه می‌توانیم این‌قدر مطمئن باشیم؟

اگر بدانیم که توزیع اعداد در مجموعه مادر نرمال است و میانگین و انحراف معیار را هم در دست داشته باشیم، می‌توانیم فرض کنیم که نمونه‌ای با اندازه معین مانند جمعیت مادر رفتار کند. بنابراین، نمونه‌برداری باعث صرفه‌جویی در زمان و هزینه در طیف گسترده‌ای از مسائل تجاری و اقتصادی می‌شود.

آزمون فرضیه‌ها نیز به تصمیم‌گیری دقت می‌دهد.

مثلا یک نانوایی تصمیم می‌گیرد که فرمول پخت خود را تغییر ندهد، مگر اینکه بتواند این فرضیه را ثابت کند که حداقل شش مشتری از هر ده مشتری مخلوط خمیر جدید را می‌پسندند. سپس نانوایی یک مطالعه انجام می‌هد که با اطمینان 99 درصد نشان می‌دهد که بیش از 60 درصد از مصرف‌کنندگان خمیر جدید را می‌پسندند.

در واقع تنها یک درصد خطر نادرست بودن نتایج نظرسنجی وجود دارد، اما چنین اختلاف کمی قابل قبول است و در نتیجه نانوا از خمیر جدید استفاده می‌کنند. به این ترتیب، آزمون فرضیه، روشی است که خطر تصمیم اشتباه بر اساس اطلاعات ناقص را به حداقل می‌رساند.

بسیاری از زمینه‌های کسب‌ و کار شامل عدم اطمینان یا ریسک است. تصمیم‌گیری هم باید بر این اساس انجام شود، اما دقیقا چگونه؟

این مثال را در نظر بگیرید. رستوران زنجیره‌ای کینگ برگرز قصد دارد یک شعبه جدید باز کند. آیا باید یک مغازه بزرگ بگیرد یا کوچک؟ تجربه نشان می‌دهد که یک مغازه بزرگ در صورت محبوبیت، 500 هزار دلار سود ایجاد می کند، اما در غیر این صورت 300 هزار دلار ضرر خواهد داشت.

به همین ترتیب، یک مغازه کوچک می‌تواند 275 هزار دلار سود ایجاد کند یا 80 هزار دلار ضرر. برای شرکت چهار رویکرد وجود دارد.

یکی از روش‌های تصمیم‌گیری، انتخاب بالاترین بازدهی ممکن است. روشی که خوش‌بینانه به دنبال حداکثر سود می‌روند. یک رستوران بزرگ می‌زنند که اگر همه‌چیز خوب پیش برود، 500 هزار دلار سود خواهد داشت.

روش دیگر انتخاب کمترین ضرر احتمالی است. در این حالت، اگر هیچ کاری انجام ندهند، بازدهی صفر است، اما هیچ ضرری ایجاد نمی‌شود. بنابراین، با بدبینی تمام دست به هیچ کاری نمی‌زنند.

روش سوم انتخاب بهترین بازدهی متوسط است. در این رویکرد شرکت فرض می‌کند که بازارهای خوب و بد به یک اندازه محتمل هستند. شرکت میانگین بازدهی هر رستوران را محاسبه می‌کند، از رستوران بزرگ (500 هزار منهای 300 هزار دلار) تقسیم بر 2 که می‌شود صد هزار دلار و سپس رستوران کوچک (275000 منهای 80000 دلار) تقسیم بر 2 که برابر است با 97500 دلار. شرکت تصمیم می‌گیرد یک رستوران بزرگ باز کند زیرا میانگین بازدهی انتظاری آن کمی بیشتر است.

یکی از تکنیک‌های دیگر وزن دادن به میانگین بازده است. شرکت تخمین می‌زند که 30 درصد احتمال یک بازار خوب و 70 درصد احتمال یک بازار بد وجود دارد. او میانگین بازده را با ضرب سود و زیان در احتمال مربوطه وزن می‌کند و سپس زیان بالقوه را از سود بالقوه کم می‌کند.

(0.3×500000 دلار) – (0.7×300000 دلار) = 60000 دلار ضرر برای رستوران بزرگ و (0.3×275000 دلار) – (0.7×80000 دلار) = 26500 دلار سود برای رستوران کوچک. او تصمیم می‌گیرد یک رستوران کوچک باز کند زیرا از بین این دو گزینه، رستوران کوچک است که میانگین وزنی آن سوداور خواهد بود.

پیش‌بینی روندها، تجزیه و تحلیل داده‌ها و ارائه موثر یافته‌های شما، همگی با درک اولیه ابزارهای ریاضی امکان‌پذیر می‌شوند. این مهارت‌ها ساده و در عین حال قدرتمند هستند و با تسلط بر آن‌ها، می‌توانید توانایی‌های تصمیم‌گیری خود را بهبود دهید.